Exercice 7, § 3

Soient $T$ un espace localement compact polonais, $\mu$ une mesure positive bornée sur $T$, $R$ une relation d’équivalence $\mu$-mesurable sur $T$. Soit $\Omega$ le sous-ensemble de l’espace $\mathscr{M}(T)$ des mesures sur $T$, formé des mesures $\lambda \geqslant 0$, de masse totale $\leqslant 1$ et non nulles; $\Omega$ est localement compact lorsqu’on le munit de la topologie vague (chap. III, § 2, n° 7, cor. 2 de la prop. 9). Montrer qu’il existe sur $\Omega$ une mesure positive $\rho$

Bourbaki XXV.

et une seule telle que : $1^\circ \mu = \int_\Omega \lambda d\varphi(\lambda) ; 2^\circ \varphi$ soit concentrée sur une partie $B_0$ de $\Omega$ dont les éléments sont des mesures de masse totale 1, portées par les classes mod. R, deux éléments distincts de $B_0$ étant portés par des classes distinctes. (Considérer une désintégration $b \to \lambda_b$ de $\mu$ par la relation R, telle que tous les $\lambda_b$ aient une masse totale 1, et l’image de B par l’application $b \to \lambda_b$ de B dans $\Omega$; utiliser le th. 4.)