Bài tập 7, § 3

Cho T là một không gian Polish địa phương compact, $\mu$ là một độ đo dương bị chặn trên T, và R là một quan hệ tương đương $\mu$-đo được trong T. Gọi $\Omega$ là tập con của không gian $\mathscr{M}(T)$ gồm các độ đo trên T, được tạo thành bởi các độ đo $\lambda \geq 0$, có khối lượng toàn phần $\leq 1$ và khác không; $\Omega$ là địa phương compact khi được trang bị tôpô hội tụ mơ hồ (Ch. III, §1, No. 9, Hệ quả 2 của Mệnh đề 15). Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một độ đo dương $\rho$ trên $\Omega$ sao cho: $1^\circ \ \mu = \int_{\Omega} \lambda \, d\rho(\lambda) ; \ 2^\circ \ \rho$ tập trung trên một tập con $B_0$ của $\Omega$ mà các phần tử của nó là các độ đo có khối lượng toàn phần 1, được mang bởi các lớp mod R, hai phần tử phân biệt của $B_0$ được mang bởi các lớp phân biệt. (Xét một phân rã $b \mapsto \lambda_b$ của $\mu$ theo quan hệ R, sao cho tất cả các $\lambda_b$ có khối lượng toàn phần 1, và ảnh của B qua ánh xạ $b \mapsto \lambda_b$ của B vào $\Omega$; sử dụng Định lý 4.)