Exercice 8, § 3

Soient T l’intervalle $[0, 2]$ dans $\mathbf{R}$, $\mu$ la mesure de Lebesgue sur T. Soit A un ensemble non borélien contenu dans l’ensemble de Cantor $K \subset [0, 1]$ (cf. Top. gén., chap. IV, § 8, exerc. 16 et chap. IX, 2e éd., § 6, exerc. 6). Soit S la relation d’équivalence dans T dont les classes d’équivalence sont les ensembles $\{ x' \}$ pour $x \notin A \cup (A + 1)$ et les ensembles $\{ x, x + 1 \}$ pour $x \in A$. Montrer que S est $\mu$-mesurable mais qu’il n’existe aucune section borélienne pour S.