Exercice 9, § 3

Soient K un espace compact métrisable, $f$ une application continue de K dans un espace topologique séparé E, k un entier quelconque $> 1$. On désigne par $B_k$ la partie de E formée des y tels que $\bar{f}(y)$ contienne au moins k points distincts ; montrer que $A_k = \bar{f}^{-1}(B_k)$ est un ensemble borélien dans K (pour tout entier $n > 0$, soit $B_{kn}$ la partie de E formée des y tels que $\bar{f}(y)$ contienne au moins k points dont les distances mutuelles soient toutes $\geq 1/n$; montrer que $B_{kn}$ est fermé).