Bài tập 9, § 3

Cho K là một không gian compact mêtric hóa được, $f$ là một ánh xạ liên tục từ K vào một không gian tôpô Hausdorff E, và $k$ là một số nguyên bất kỳ $> 1$. Ký hiệu $B_k$ là tập con của E gồm các $y$ sao cho $f^{-1}(y)$ chứa ít nhất $k$ điểm phân biệt; hãy chứng minh rằng $A_k = f^{-1}(B_k)$ là một tập Borel trong K (với mọi số nguyên $n > 0$, ký hiệu $B_{kn}$ là tập con của E gồm các $y$ sao cho $f^{-1}(y)$ chứa ít nhất $k$ điểm mà khoảng cách từng đôi của chúng đều $\geq 1/n$; hãy chứng minh rằng $B_{kn}$ là đóng).