Exercice 9, § 2

Soient $X$ un espace localement compact, $H$ un groupe compact opérant continûment (et par suite proprement) à droite sur $X$. On désigne par $\beta$ la mesure de Haar normalisée sur $H$, par $\pi : X \to X/H$ l’application canonique. Soient $\lambda$ une mesure positive sur $X/H$, $\lambda^*$ la mesure correspondante sur $X$.

a) Montrer que si $N$ est une partie $\lambda$-négligeable de $X/H$, $\pi^{-1}(N)$ est $\lambda^{\#}$-négligeable. (Calculer la mesure d’un ensemble $\pi^{-1}(U)$, où U est ouvert dans $X/H$).

b) Soit $p$ un nombre fini $\geqslant 1$, et soit $f$ une fonction de $\mathscr{L}_F^p(X, \lambda^{\#})$ (F espace de Banach ou $F = \overline{\mathbf{R}}$). Montrer que l’ensemble des $x \in X$ tels que $\xi \to f(x\xi)$ ne soit pas $\beta$-intégrable dans H est de la forme $\pi^{-1}(N)$, où N est $\lambda$-négligeable. En outre, si $f^b$ est la fonction sur $X/H$, définie presque partout (pour $\lambda$), telle que $f^b(\pi(x)) = \int_H f(x\xi)d\beta(\xi)$, $f^b$ appartient à $\mathscr{L}_F^p(X/H, \lambda)$, et l’on a $N_p(f^b) \leqslant N_p(f)$.

c) Inversement, si $g \in \mathscr{L}_F^p(X/H, \lambda)$, la fonction $g \circ \pi$ appartient à $\mathscr{L}_F^p(X, \lambda^{\#})$. Si $p, q$ sont des exposants conjugués, $F'$ le dual de F, $f \in \mathscr{L}_F^p(X, \lambda^{\#})$ et $g \in \mathscr{L}_{F'}^q(X/H, \lambda)$, on a