Bài tập 9, § 2

Cho X là một không gian địa phương compact, H là một nhóm compact tác động liên tục (do đó đúng) bên phải trong X. Ký hiệu $\beta$ là độ đo Haar chuẩn hóa trên H, $\pi : X \to X/H$ là ánh xạ chính tắc. Cho $\lambda$ là một độ đo dương trên X/H, $\lambda^\#$ là độ đo tương ứng trên X.

a) Chứng minh rằng nếu N là một tập hợp $\lambda$-không đáng kể của X/H, thì $\overline{\pi}^{-1}(N)$ là $\lambda^\#$-không đáng kể. (Tính độ đo của một tập hợp $\overline{\pi}^{-1}(U)$, trong đó U là mở trong X/H.)

b) Cho $p$ là một số hữu hạn $\geqslant 1$, và cho $f$ là một hàm trong $\mathscr{L}_F^p(X, \lambda^\#)$ (F là một không gian Banach hoặc $F = \overline{\mathbf{R}}$). Chứng minh rằng tập hợp các $x \in X$ sao cho $\xi \mapsto f(x\xi)$ không $\beta$-khả tích trên H có dạng $\overline{\pi}^{-1}(N)$, trong đó N là $\lambda$-không đáng kể. Hơn nữa, nếu $f^b$ là hàm trên X/H, được xác định hầu khắp nơi (đối với $\lambda$), sao cho $f^b(\pi(x)) = \int_H f(x\xi) d\beta(\xi)$, thì $f^b$ thuộc $\mathscr{L}_F^p(X/H, \lambda)$, và $N_p(f^b) \leqslant N_p(f)$.

c) Ngược lại, nếu $g \in \mathscr{L}_F^p(X/H, \lambda)$, thì hàm $g \circ \pi$ thuộc $\mathscr{L}_F^p(X, \lambda^\#)$. Nếu $p, q$ là các số mũ liên hợp, $F'$ là đối ngẫu của F, $f \in \mathscr{L}_F^p(X, \lambda^\#)$ và $g \in \mathscr{L}_{F'}^q(X/H, \lambda)$, thì