Exercice 1, § 3

Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbf{R}, \mathbf{C}$ ou $\mathbf{H}$, $\Phi$ et $\Phi'$ deux formes hermitiennes positives non dégénérées sur E. On suppose que $\mathscr{U}(\Phi) \subset \mathscr{U}(\Phi')$. Montrer que $\Phi$ et $\Phi'$ sont proportionnelles. (Utiliser le fait qu’il existe une base orthonormale $(e_1, \ldots, e_n)$ pour $\Phi$ qui est orthogonale pour $\Phi'$. L’application $u \in \mathscr{L}(E, E)$ telle que $u(e_i) = e_j, u(e_j) = e_i, u(e_k) = e_k$ pour $k \neq i, j$, appartient à $\mathscr{U}(\Phi)$).