Exercice 10, § 3

Soit D le groupe des déplacements de déterminant 1 de $\mathbf{R}^3$, produit semi-direct de $\mathbf{SO}(3, \mathbf{R})$ et du groupe T des translations. On utilise la notation $\sigma(\varphi, \psi, \theta)$ de l'exerc. 9, et on note $t(\xi, \eta, \zeta)$ la translation de vecteur $(\xi, \eta, \zeta)$.

a) Soit H le sous-groupe fermé de D qui laisse stable $\mathbf{R}e_3$ et conserve l'orientation sur $\mathbf{R}e_3$. Montrer que H est produit du groupe des translations $t(0, 0, \zeta)$ et du groupe des rotations $\sigma(\omega, 0, 0)$. En déduire que l'espace homogène $\mathrm{E} = \mathrm{D}/\mathrm{H}$, qui s'identifie à l'espace des droites affines orientées de $\mathbf{R}^3$, possède une mesure invariante par D, et, à un facteur constant près, une seule. (Utiliser l'exerc. 5 a)).

b) Soit $E_1$ le sous-espace ouvert de $E$ formé des droites orientées non orthogonales à $e_3$; une telle droite orientée peut être déterminée par les coordonnées $\xi', \eta'$ de son point d’intersection avec $Re_1 + Re_2$, et par les coordonnées ($\sin \varphi \sin \theta, -\cos \varphi \sin \theta, \cos \theta$) d’un vecteur directeur. Montrer qu’une mesure sur $E_1$ invariante par $D$ est donnée par