Bài tập 10, § 3

Cho D là nhóm các phép dời chỗ của $\mathbf{R}^3$ có định thức 1, tích nửa trực tiếp của $SO(3, \mathbf{R})$ và nhóm T các phép tịnh tiến. Ta sử dụng ký hiệu $\sigma(\varphi, \psi, \theta)$ của Bài tập 9, và ký hiệu $t(\xi, \eta, \zeta)$ là phép tịnh tiến có vectơ $(\xi, \eta, \zeta)$.

a) Cho H là nhóm con đóng của D giữ $\mathbf{R}e_3$ ổn định và bảo toàn định hướng trên $\mathbf{R}e_3$. Chứng minh rằng H là tích của nhóm các phép tịnh tiến $t(0, 0, \zeta)$ và nhóm các phép quay $\sigma(\omega, 0, 0)$. Từ đó, suy ra rằng không gian thuần nhất $E = D/H$, có thể được đồng nhất với không gian các đường thẳng affine có định hướng của $\mathbf{R}^3$, sở hữu một độ đo bất biến dưới tác động của D, và, sai khác một nhân tử hằng, chỉ có một độ đo như vậy. (Sử dụng Bài tập 5 a).)

b) Cho $E_1$ là không gian con mở của E tạo bởi các đường thẳng có định hướng không vuông góc với $e_3$; một đường thẳng có định hướng như vậy có thể được xác định bởi các tọa độ $\xi', \eta'$ của điểm giao của nó với $\mathbf{Re}_1 + \mathbf{Re}_2$, và các tọa độ $(\sin \varphi \sin \theta, -\cos \varphi \sin \theta, \cos \theta)$ của một vectơ phương. Chứng minh rằng một độ đo trên $E_1$ bất biến dưới tác động của D được cho bởi