Exercice 6, § 3

Soit $P$ l’ensemble des nombres complexes $z = x + iy$ dont la partie imaginaire est $> 0$. Montrer que $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$ opère transivement et continûment à gauche dans $P$ par

et que $P$ devient ainsi un espace homogène topologique pour $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$. Montrer que $y^{-2} dx dy$ est une mesure invariante sur $P$.