Exercice 8, § 3

a) Montrer qu’il existe sur $S_{n-1}$ une mesure $\omega_{n-1}$ invariante par $\mathbf{O}(n, \mathbf{R})$ et une seule à une constante près (considérer $S_{n-1}$ comme espace homogène pour $\mathbf{O}(n, \mathbf{R})$). b) L’application $(t, z) \to tz$ permet d’identifier l’espace topologique $\mathbf{R}^n - \{0\}$ à l'espace topologique $\mathbf{R}^*_+ \times \mathbf{S}_{n-1}$. Montrer que la mesure induite sur $\mathbf{R}^n - \{0\}$ par la mesure de Lebesgue de $\mathbf{R}^n$ s'identifie alors, à une constante près, à $t^{n-1}dt \otimes d\omega_{n-1}(z)$. (Utiliser le fait que la mesure de Lebesgue de $\mathbf{R}^n$ est invariante par $\mathbf{O}(n, \mathbf{R})$, et le fait que la mesure de Lebesgue de la boule fermée de centre 0 et de rayon $r$ est proportionnelle à $r^n$).

c) Soit $\mathrm{L}_h$ l'intersection de $\mathbf{S}_{n-1}$ et de l'hyperplan $x_n = h$. Les $\mathrm{L}_h$ non vides sont les classes d'intransitivité de $\mathbf{O}(n-1, \mathbf{R})$ dans $\mathbf{S}_{n-1}$. Montrer que $\omega_{n-1}$ se met sous la forme $\int \lambda_h \, d\nu(h)$ où $\lambda_h$ est une mesure invariante par $\mathbf{O}(n-1, \mathbf{R})$ portée par $\mathrm{L}_h$ et $\nu$ une mesure sur $[-1, 1]$. Identifiant $\mathrm{L}_h$ à $\mathbf{S}_{n-2}$ par $z \to he_n + \sqrt{1-h^2}\, z$, on peut supposer que $\lambda_h = \omega_{n-2}$. Soit $\mathrm{K}_\theta$ la partie de $\mathbf{S}_{n-1}$ définie par $\sin \theta \leqslant x_n \leqslant 1$. En calculant la mesure de Lebesgue de l'ensemble des $tz$ ($0 \leqslant t \leqslant 1$, $z \in \mathrm{K}_\theta$), montrer que $\omega_{n-1}(\mathrm{K}_\theta)$ est proportionnel à $\int_\theta^{\pi/2} \cos^{n-2}\varphi \, d\varphi$. En déduire que, si l'on pose $h = \sin \theta$ ($-\pi/2 \leqslant \theta \leqslant \pi/2$), la mesure $\nu$ s'identifie à $\cos^{n-2}\theta \, d\theta$.

d) Conclure, par récurrence sur $n$, que

où l'on a posé

avec $-\pi/2 \leqslant \theta_i \leqslant \pi/2$ pour $1 \leqslant i \leqslant n-2$, $0 \leqslant \theta_{n-1} < 2\pi$.