Bài tập 8, § 3

a) Chứng minh rằng trên $S_{n-1}$ tồn tại một độ đo $\omega_{n-1}$ bất biến dưới $O(n, \mathbf{R})$ và, sai khác một nhân tử hằng, chỉ có một độ đo duy nhất (xem $S_{n-1}$ như một không gian thuần nhất của $O(n, \mathbf{R})$).

b) Ánh xạ $(t, z) \mapsto tz$ cho phép đồng nhất không gian tôpô $\mathbf{R}^n - \{0\}$ với không gian tôpô $\mathbf{R}_+^* \times S_{n-1}$. Chứng minh rằng độ đo cảm sinh trên $\mathbf{R}^n - \{0\}$ bởi độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}^n$ khi đó có thể được đồng nhất, sai khác một nhân tử hằng, với $t^{n-1} dt \otimes d\omega_{n-1}(z)$. (Sử dụng sự kiện rằng độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}^n$ là bất biến dưới $O(n, \mathbf{R})$ và sự kiện rằng độ đo Lebesgue của quả cầu đóng tâm 0 bán kính $r$ tỉ lệ với $r^n$.)

c) Gọi $L_h$ là giao của $S_{n-1}$ và siêu phẳng $x_n = h$. Các $L_h$ không rỗng là các lớp không bắc cầu của $O(n-1, \mathbf{R})$ trong $S_{n-1}$. Chứng minh rằng $\omega_{n-1}$ có thể được đặt dưới dạng $\int \lambda_h d\nu(h)$, trong đó $\lambda_h$ là một độ đo bất biến dưới $O(n-1, \mathbf{R})$ và được mang bởi $L_h$, còn $\nu$ là một độ đo trên $[-1, 1]$. Đồng nhất $L_h$ với $S_{n-2}$ bởi $z \mapsto he_n + \sqrt{1-h^2} z$, ta có thể giả sử rằng $\lambda_h = \omega_{n-2}$. Gọi $K_\theta$ là tập con của $S_{n-1}$ được xác định bởi $\sin \theta \leq x_n \leq 1$. Bằng cách tính độ đo Lebesgue của tập hợp các $tz$ ($0 \leq t \leq 1$, $z \in K_\theta$), chứng minh rằng $\omega_{n-1}(K_\theta)$ tỉ lệ với $\int_\theta^{\pi/2} \cos^{n-2} \varphi \, d\varphi$. Từ đó, suy ra rằng nếu đặt $h = \sin \theta$ ($-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2$), thì độ đo $\nu$ có thể được đồng nhất với $\cos^{n-2} \theta \, d\theta$.

d) Kết luận, bằng quy nạp theo $n$, rằng

trong đó

với $-\pi/2 \leq \theta_i \leq \pi/2$ với $1 \leq i \leq n-2$, $0 \leq \theta_{n-1} < 2\pi$.