Exercice 6, § 2

Intégration, VIII

Soient G un groupe localement compact, $\beta$ une mesure positive non nulle relativement invariante sur G, $\chi$ et $\chi'$ ses multiplicateurs à gauche et à droite. Pour $f \in L^p_\mathfrak{g}(G, \beta)$ et $s \in G$ , on pose

(U(s)f)(x) = \chi(s)^{-1/p}f(s^{-1}x)

(V(s)f)(x) = \chi'(s)^{-1/p}f(xs)

(Sf)(x) = (\chi\chi')(x)^{-1/p}\overline{f(x^{-1})}.

Alors U et V sont des représentations linéaires de G, et l’on a

S^2 = 1,\ \|U(s)\| = \|V(s)\| = 1,\ U(s)V(t) = V(t)U(s),\ SU(s)S = V(s) quels que soient s, t dans G.

Solution

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