Exercice 7, § 2

Soit E un espace hilbertien ayant une base orthonormale $(e_s)_{s \in \mathbf{R}}$ équipotente à $\mathbf{R}$. Pour tout $s \in \mathbf{R}$, on désigne par $U(s)$ l’isométrie de E telle que $U(s).e_t = e_{s+t}$ pour tout $t \in \mathbf{R}$; la représentation linéaire $s \to U(s)$ de $\mathbf{R}$ dans E n’est pas continue, bien que l’ensemble des $U(s)$ soit équi-continu.