Exercice 9, § 2

Soient G un groupe localement compact, $\mu$ une mesure de Haar à gauche sur G, $f$ une fonction $\mu$-intégrable. Soit $\mathscr{B}$ une base de filtre formée d’ensembles $\mu$-intégrables de mesure >0, ayant pour limite $e$. Pour tout $B \in \mathscr{B}$, on pose $f_B(t) = \frac{1}{\mu(B)} \int_B f(st) d\mu(s)$. Montrer que pour toute partie intégrable A de G, on a $\lim_{\mathscr{B}} \int_A f_B(t) d\mu(t) = \int_A f(t) d\mu(t)$.