Bài tập 9, § 2

Cho G là một nhóm compact địa phương, $\mu$ là một độ đo Haar trái trên G, $f$ là một hàm khả tích theo $\mu$. Cho $\mathscr{B}$ là một cơ sở lọc tạo thành bởi các tập hợp khả tích theo $\mu$ có độ đo $> 0$, có $e$ là giới hạn. Với mọi $B \in \mathscr{B}$, đặt $f_B(t) = \frac{1}{\mu(B)} \int_B f(st)\, d\mu(s)$. Chứng minh rằng với mọi tập con khả tích A của G, $\lim_{\mathscr{B}} \int_A f_B(t)\, d\mu(t) = \int_A f(t)\, d\mu(t)$.