Exercice 14, § 4

a) Soient G un groupe localement compact, $f$ une fonction positive semi-continue inférieurement dans G, $\mu$ une mesure positive sur G. Montrer que la fonction $x \to \int^* f(s^{-1}x)d\mu(s) = g(x)$ est semi-continue inférieurement dans G (cf. chap. IV, § 1, n° 1, th. 1); pour que $\mu$ et $f$ soient convolables, il faut et il suffit que $g$ soit intégrable pour une mesure de Haar à gauche sur G.

b) Sur le groupe $G = \mathbf{R} \times \mathbf{R}$, soit $\mu$ la mesure $\varepsilon_0 \otimes \lambda$, où $\lambda$ est la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}$; soit $f(x, y) = (1 - |xy - 2|)^+$; montrer que la fonction $g(x, y) = \int f(x - s, y - t)d\mu(s, t)$ est partout finie dans G mais n’est pas continue et n’est pas intégrable pour la mesure de Lebesgue sur G.