Bài tập 14, § 4

a) Cho G là một nhóm compact địa phương, $f$ là một hàm dương nửa liên tục dưới trên G, $\mu$ là một độ đo dương trên G. Chứng minh rằng hàm

là nửa liên tục dưới trên G (xem Ch. IV, §1, No. 1, Th. 1); để $\mu$ và $f$ có thể lấy tích chập được, điều kiện cần và đủ là $g$ khả tích đối với một độ đo Haar trái trên G.

b) Trên nhóm $G = \mathbf{R} \times \mathbf{R}$, cho $\mu$ là độ đo $\varepsilon_0 \otimes \lambda$, trong đó $\lambda$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}$; cho $f(x, y) = (1 - |xy - 2|)^+$; chứng minh rằng hàm

hữu hạn khắp nơi trên G, nhưng không liên tục và không khả tích đối với độ đo Lebesgue trên G.