Exercice 16, § 4

Les notations et conventions sont celles de l’exerc. 15.

a) Montrer que, pour qu’une mesure bornée $\mu$ sur $G$ soit telle que $\|\mu * f\|_1 = \|f\|_1$ pour toute $f \in L^1(G, \beta)$, il faut et il suffit que $\mu$ soit une mesure ponctuelle de norme 1. (En utilisant le fait que l’endomorphisme $\gamma(|\mu|)$ de $L^1(G, \beta)$ a pour norme $\|\mu\|$ (exerc. 15), montrer qu’on doit nécessairement avoir, pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(G)$,

en déduire d’abord que $\tilde{\mu} = c|\mu|$, où $c$ est une constante de valeur absolue 1, puis que $\mu$ est ponctuelle).

b) On prend pour $G$ le groupe cyclique d’ordre 3. Donner un exemple de mesure non ponctuelle $\mu$ sur $G$ telle que $\|\mu * f\|_2 = \|f\|_2$ pour toute fonction numérique $f$ définie dans $G$.