Bài tập 16, § 4

Các ký hiệu và quy ước là những ký hiệu và quy ước của Bài tập 15.

a) Chứng minh rằng, để một độ đo bị chặn $\mu$ trên G có tính chất $\| \mu * f \|_1 = \| f \|_1$ với mọi $f \in L^1(G, \beta)$, điều kiện cần và đủ là $\mu$ là một độ đo điểm có chuẩn 1. (Dùng sự kiện rằng tự đồng cấu $\gamma(|\mu|)$ của $L^1(G, \beta)$ có chuẩn $\| \mu \|$ (Bài tập 15), chứng minh rằng nhất thiết phải có, với mọi hàm $f \in \mathscr{K}(G)$,

từ đó, trước hết suy ra rằng $\mu = c |\mu|$, trong đó c là một hằng có giá trị tuyệt đối bằng 1, rồi suy ra rằng $\mu$ là một độ đo điểm.)

b) Lấy cho G nhóm cyclic có cấp 3. Cho một ví dụ về một độ đo $\mu$ trên G, không phải là một độ đo điểm, sao cho $\| \mu * f \|_2 = \| f \|_2$ với mọi hàm số $f$ xác định trên G.