Exercice 19, § 4

Les notations et conventions sont celles de l’exerc. 15.

a) Montrer que si une mesure bornée positive $\mu$ sur $G$ est telle que pour toute fonction $f \in L^p(G, \beta)$ ($p$ donné, $1 \leq p < +\infty$) la relation $\mu * f \geq 0$ localement presque partout entraîne $f \geq 0$ localement presque partout, alors on peut conclure que $\mu$ est une mesure ponctuelle dans chacun des cas suivants : $\alpha)$ $G$ est compact ; $\beta)$ $G$ est discret ; $\gamma)$ $G$ est commutatif (utiliser l’exerc. 18) (*). Pour $p = +\infty$, la même conclusion est valable sans hypothèse supplémentaire sur $G$.

b) Soit $\mu$ une mesure bornée positive sur $G$ telle que : $1^o$ $\gamma(\mu)$ soit un endomorphisme surjectif de $L^1(G, \beta)$ ; $2^o$ pour toute fonction $f \in L^1(G, \beta)$ la relation $\mu * f \geq 0$ localement presque partout entraîne

(*) Pour un exemple où $\mu$ est non ponctuelle et telle que $\mu * f \geq 0$ entraîne $f \geq 0$, voir Williamson, Proc. Edimb. Math. Soc., 1957, pp. 71-77.

f \geqslant 0 localement presque partout. Montrer alors que $\mu$ est une mesure ponctuelle. (Observer que pour toute fonction $g \in L^\infty(G, \beta)$, la relation $\tilde{\mu} * g \geqslant 0$ localement presque partout entraîne $g \geqslant 0$ localement presque partout).