Bài tập 19, § 4

Ký hiệu và các quy ước là những ký hiệu và quy ước của Bài tập 15. a) Chứng minh rằng nếu một độ đo bị chặn dương $\mu$ trên $G$ có tính chất là đối với mọi hàm $f \in L^p(G, \beta)$ ($p$ cho trước, $1 \leq p < \infty$), quan hệ $\mu * f \geq 0$ hầu khắp mọi nơi địa phương kéo theo $f \geq 0$ hầu khắp mọi nơi địa phương, thì có thể kết luận rằng $\mu$ là một độ đo điểm trong mỗi trường hợp sau đây: $\alpha)$ $G$ compact; $\beta)$ $G$ rời rạc; $\gamma)$ $G$ Abel (dùng Bài tập 18) (*). Với $p = +\infty$, cùng kết luận đó đúng mà không cần giả thiết bổ sung nào về $G$. b) Cho $\mu$ là một độ đo bị chặn dương trên $G$ sao cho: $1^\circ$ $\gamma(\mu)$ là một tự đồng cấu toàn ánh của $L^1(G, \beta)$; $2^\circ$ đối với mọi hàm $f \in L^1(G, \beta)$, quan hệ $\mu * f \geq 0$ hầu khắp mọi nơi địa phương kéo theo $f \geq 0$ hầu khắp mọi nơi địa phương. Chứng minh rằng khi đó $\mu$ là một độ đo điểm. (Chú ý rằng đối với mọi hàm $g \in L^\infty(G, \beta)$, quan hệ $\overset{\vee}{\mu} * g \geq 0$ hầu khắp mọi nơi địa phương kéo theo $g \geq 0$ hầu khắp mọi nơi địa phương.)