Exercice 20, § 4

Soient G un groupe localement compact, $\beta$ une mesure de Haar à gauche sur G.

a) Soit $f$ une fonction numérique bornée dans G, uniformément continue pour la structure uniforme gauche. Montrer que pour toute mesure bornée $\mu$ sur G, $\mu * f$ est uniformément continue pour la structure uniforme gauche ; en outre, avec les notations du n° 7, prop. 19, $f$ est limite, pour la topologie de la convergence uniforme dans G, des fonctions $f_v * f$ suivant le filtre des sections de $\mathscr{B}$.

b) On prend $G = \mathbf{T}$; donner un exemple de fonction continue $h$ dans $\mathbf{T}$ qui ne soit pas de la forme $f * g$, où $f$ et $g$ appartiennent à $L^2(\mathbf{T}, \beta)$. (Utiliser les exerc. 19 b) et 20 du chap. IV, § 6.)