Exercice 21, § 4

Soient G un groupe localement compact, $\beta$ une mesure de Haar à gauche sur G ; on identifie canoniquement $L^1(G, \beta)$ à un sous-espace de $\mathscr{M}^1(G)$.

a) Avec les notations du § 3, exerc. 11, soient A une partie relativement compacte de $\mathscr{M}_{\text{III}}$, B une partie de $L^1(G, \beta)$, relativement compacte dans $\mathscr{M}_{\text{IV}}$. Montrer que la restriction à $A \times B$ de l’application $(\mu, v) \to \mu * v$ de $\mathscr{M}_{\text{III}} \times \mathscr{M}_{\text{IV}}$ dans $\mathscr{M}_{\text{IV}}$ est continue. (Prouver d’abord que si A et B sont compacts, l’image de $A \times B$ par cette application est compacte ; utiliser l’exerc. 10 du § 3, ainsi que le critère $\alpha$) du chap. V, § 5, exerc. 17. Pour montrer ensuite que $(\mu, v) \to \mu * v$ est continue, utiliser l’exerc. 11 c) du § 3.)

b) Soit $\mathscr{U}_s^\infty(G)$ l’ensemble des fonctions numériques bornées et uniformément continues dans G pour la structure uniforme gauche. On désigne par $\mathscr{T}_{\text{II}}$ la topologie $\sigma(\mathscr{M}^1(G), \mathscr{U}_s^\infty(G))$, par $\mathscr{M}_{\text{II}}$ l’espace $\mathscr{M}^1(G)$ muni de $\mathscr{T}_{\text{II}}$. En prenant $G = \mathbf{R}$, donner un exemple d’une suite $(\mu_n)$ de mesures sur G tendant vers 0 pour $\mathscr{T}_{\text{II}}$ et d’une suite $(f_n)$ de fonctions de $L^1(G, \beta)$, tendant vers 0 pour $\mathscr{T}_{\text{IV}}$ (ou, ce qui revient au même, pour la topologie $\sigma(L^1(G, \beta), L^\infty(G, \beta))$), telles que la suite $(\mu_n * f_n)$ ne tende pas vers 0 pour $\mathscr{T}_{\text{IV}}$ (prendre $f_n(t) = \sin nt$ dans l’intervalle $[0, \pi]$, $f_n(t) = 0$ ailleurs).

c) Soient A une partie relativement compacte de $\mathscr{M}_{\text{II}}$, B une partie de $L^1(G, \beta)$, relativement compacte pour la topologie de la norme $\|f\|_1$. Montrer que la restriction à $A \times B$ de l’application $(\mu, f) \to \mu * f$ de $\mathscr{M}_{\text{III}} \times L^1(G, \beta)$ dans $L^1(G, \beta)$ est continue ($L^1(G, \beta)$ étant muni de sa topologie d’espace normé). (Se ramener à prouver que pour $f \in \mathscr{K}(G)$, l’application $\mu \to \mu * f$ de $\mathscr{M}_{\text{II}}$ dans $L^1(G, \beta)$ est continue dans A. En utilisant le fait que pour $g \in L^\infty(G, \beta)$ et $f \in \mathscr{K}(G)$, $g * f$ est uniformément continue pour la structure uniforme gauche, montrer d’abord que l’application $\mu \to \mu * f$ de $\mathscr{M}_{\text{II}}$ dans $\mathscr{M}_{\text{IV}}$ est continue. Utilisant ensuite l’exerc. 20 a), se ramener à prouver que si C est une partie de $L^1(G, \beta)$ compacte pour la topologie $\sigma(L^1(G, \beta), L^\infty(G, \beta))$ et $h \in \mathscr{K}(G)$, l’application $\mu \to \mu * h$ de C dans $L^1(G, \beta)$ est continue lorsque $L^1(G, \beta)$ est munie de sa topologie d’espace normé. Par le même raisonnement que dans a), montrer qu’il suffit pour cela de prouver que l’image de C par cette application est compacte pour la topologie d’espace normé. Utiliser pour cela le th. de Šmulian, le fait que C est serré (§ 3, exerc. 10) et le th. de Lebesgue).

d) Soient A une partie relativement compacte de $\mathscr{M}_{II}$ contenant 0, B une partie relativement compacte de $\mathscr{M}_I$; montrer que pour tout $v_0 \in B$ la restriction à $A \times B$ de l’application $(\mu, \nu) \to \mu * \nu$ de $\mathscr{M}_{II} \times \mathscr{M}_I$ dans $\mathscr{M}_{II}$ est continue au point $(0, v_0)$. (Utiliser l’exerc. 20 a), et l’exerc. 8 c.)

e) Soient A une partie bornée de $\mathscr{M}^1(G)$, $f$ une fonction de $L^1(G, \beta)$; montrer que la restriction à A de l’application $\mu \to \mu * f$ de $\mathscr{M}_{III}$ dans $\mathscr{M}_{IV}$ est continue.

f) Soit $\mathscr{M}_+^1(G)$ l’ensemble des mesures positives bornées sur G. Montrer que si une partie A de $\mathscr{M}_+^1(G)$ est compacte pour $\mathscr{T}_{II}$ elle est aussi compacte pour $\mathscr{T}_{III}$. (Se ramener à prouver que A est un ensemble serré. Raisonner par l’absurde, en utilisant le fait que pour $f \in \mathscr{K}(G)$, l’image de A par l’application $\mu \to \mu * f$ est un ensemble serré en vertu de c.).

g) Montrer que pour $G = \mathbf{R}$, les topologies induites sur $\mathscr{M}_+^1(G)$ par $\mathscr{T}_{II}$ et $\mathscr{T}_{III}$ sont distinctes.