Bài tập 21, § 4

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $\beta$ là một độ đo Haar trái trên $G$; một cách chính tắc người ta đồng nhất $L^1(G, \beta)$ với một không gian con của $\mathscr{M}^1(G)$. a) Với các ký hiệu của §3, Exer. 11, cho $A$ là một tập con tương đối compact của $\mathscr{M}_{III}$, $B$ là một tập con của $L^1(G, \beta)$, tương đối compact trong $\mathscr{M}_{IV}$. Chứng minh rằng hạn chế vào $A \times B$ của ánh xạ $(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$ từ $\mathscr{M}_{III} \times \mathscr{M}_{IV}$ vào $\mathscr{M}_{IV}$ là liên tục. (Trước hết chứng minh rằng nếu $A$ và $B$ là compact, ảnh của $A \times B$ qua ánh xạ này là compact; sử dụng Exer. 10 của §3, cũng như tiêu chuẩn $\alpha$) của Ch. V, §5, Exer. 15. Để chứng minh tiếp rằng $(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$ là liên tục, hãy sử dụng Exer. 11 c) của §3.) b) Cho $\mathscr{U}_s^\infty(G)$ là tập hợp các hàm số bị chặn trên $G$ liên tục đều đối với cấu trúc đều trái. Ký hiệu $\mathscr{T}_{II}$ là tôpô $\sigma(\mathscr{M}^1(G), \mathscr{U}_s^\infty(G))$, và ký hiệu $\mathscr{M}_{II}$ là không gian $\mathscr{M}^1(G)$ được trang bị bởi $\mathscr{T}_{II}$. Lấy $G = \mathbf{R}$, hãy cho một ví dụ về một dãy $(\mu_n)$ các độ đo trên $G$ hội tụ về 0 đối với $\mathscr{T}_{II}$ và một dãy $(f_n)$ các hàm thuộc $L^1(G, \beta)$, hội tụ về 0 đối với $\mathscr{T}_{IV}$ (hoặc, tương đương với điều đó, đối với tôpô $\sigma(L^1(G, \beta), L^\infty(G, \beta))$), sao cho dãy $(\mu_n * f_n)$ không hội tụ về 0 đối với $\mathscr{T}_{IV}$ (lấy $f_n(t) = \sin nt$ trong khoảng $[0, \pi]$, $f_n(t) = 0$ ở nơi khác). c) Cho $A$ là một tập con tương đối compact của $\mathscr{M}_{II}$, $B$ là một tập con của $L^1(G, \beta)$, tương đối compact đối với tôpô của chuẩn $\|f\|_1$. Chứng minh rằng hạn chế vào $A \times B$ của ánh xạ $(\mu, f) \mapsto \mu * f$ từ $\mathscr{M}_{III} \times L^1(G, \beta)$ vào $L^1(G, \beta)$ là liên tục ($L^1(G, \beta)$ được trang bị tôpô không gian chuẩn). (Rút gọn về việc chứng minh rằng với $f \in \mathscr{H}(G)$, ánh xạ $\mu \mapsto \mu * f$ từ $\mathscr{M}_{II}$ vào $L^1(G, \beta)$ là liên tục trong $A$. Sử dụng sự kiện rằng với $g \in L^\infty(G, \beta)$ và $f \in \mathscr{H}(G)$, $g * f$ là liên tục đều đối với cấu trúc đều trái, trước hết chứng minh rằng ánh xạ $\mu \mapsto \mu * f$ từ $\mathscr{M}_{II}$ vào $\mathscr{M}_{IV}$ là liên tục. Tiếp theo, sử dụng Exer. 20 a), rút gọn về việc chứng minh rằng nếu $C$ là một tập con của $L^1(G, \beta)$ compact đối với tôpô

(*) Để có một ví dụ trong đó $\mu$ không phải là một độ đo điểm và có tính chất rằng $\mu * f \geq 0$ kéo theo $f \geq 0$, xem J.H. Williamson, Proc. Edinburgh Math. Soc., 11 (1958/59), 71–77.

σ(L^1(G, β), L^∞(G, β)) và h ∈ $\mathscr{K}(G)$, ánh xạ μ ↦ μ \* h của C vào L^1(G, β) là liên tục khi L^1(G, β) được trang bị tôpô không gian định chuẩn của nó. Theo cùng lập luận như trong a), hãy chỉ ra rằng để có điều này, chỉ cần chứng minh rằng ảnh của C qua ánh xạ này là compact đối với tôpô không gian định chuẩn. Với mục đích này, hãy sử dụng định lý Šmulian, sự kiện rằng C là bị chật (§3, Bài tập 10) và định lý Lebesgue.)

d) Cho A là một tập con tương đối compact của $\mathscr{P}_{II}$ chứa 0, B là một tập con tương đối compact của $\mathscr{P}_I$; hãy chỉ ra rằng với mọi ν_0 ∈ B, hạn chế trên A × B của ánh xạ (μ, ν) ↦ μ \* ν từ $\mathscr{P}_{II}$ × $\mathscr{P}_I$ vào $\mathscr{P}_{II}$ là liên tục tại điểm (0, ν_0). (Hãy sử dụng Bài tập 20 a), và Bài tập 21 c).)

e) Cho A là một tập con bị chặn của $\mathscr{P}^1$(G), f là một hàm trong L^1(G, β); hãy chỉ ra rằng hạn chế trên A của ánh xạ μ ↦ μ \* f từ $\mathscr{P}_{III}$ vào $\mathscr{P}_{IV}$ là liên tục.

f) Cho $\mathscr{P}^1_+$(G) là tập hợp các độ đo dương bị chặn trên G. Hãy chỉ ra rằng nếu một tập con A của $\mathscr{P}^1_+$(G) là compact đối với $\mathscr{P}_{II}$, thì nó cũng compact đối với $\mathscr{P}_{III}$. (Rút gọn về việc chứng minh rằng A là một tập hợp bị chật. Lập luận bằng phản chứng, sử dụng sự kiện rằng với f ∈ $\mathscr{K}(G)$, ảnh của A qua ánh xạ μ ↦ μ \* f là một tập hợp bị chật nhờ c).)

g) Hãy chỉ ra rằng với G = $\mathbf{R}$, các tôpô cảm sinh trên $\mathscr{P}^1_+$(G) bởi $\mathscr{P}_{II}$ và $\mathscr{P}_{III}$ là phân biệt.