Exercice 22, § 4

Les notations sont celles de l’exerc. 21 du § 4 et de l’exerc. 11 du § 3.

a) Soit $(\mu_n)$ une suite de mesures bornées sur G. On suppose que pour toute fonction $f \in L^1(G, \beta)$, la suite $(\mu_n * f)$ converge vers 0 dans $\mathscr{M}_I$. Montrer que la suite des normes $(\|\mu_n\|)$ est bornée (utiliser le th. de Banach-Steinhaus pour la famille d’applications $f \to \mu_n * f$ de $L^1(G, \beta)$ dans lui-même, ainsi que l’exerc. 15). En déduire que la suite $(\mu_n)$ tend vers 0 dans $\mathscr{M}_I$ (utiliser l’exerc. 20).

b) Soit $(\mu_n)$ une suite de mesures bornées sur G telle que la suite $(\mu_n * f)$ tende vaguement vers 0 pour toute fonction $f \in L^1(G, \beta)$; montrer que la suite $(\mu_n)$ tend vaguement vers 0 (pour toute partie compacte K de G, montrer, en raisonnant comme dans a), que la suite $(|\mu_n|(K))$ est bornée). Donner un exemple (avec $G = \mathbf{Z}$) où la suite $(\|\mu_n\|)$ n’est pas bornée.

c) Soit $(\mu_n)$ une suite de mesures bornées sur G telle que pour toute fonction $f \in L^1(G, \beta)$, la suite $(\mu_n * f)$ converge vers 0 dans $\mathscr{M}_{II}$; montrer que la suite $(\mu_n)$ converge vers 0 dans $\mathscr{M}_{II}$ (utiliser a).