Bài tập 22, § 4

Ký hiệu là những ký hiệu của Bài tập 21 của §4 và Bài tập 11 của §3.

a) Cho (μ_n) là một dãy các độ đo bị chặn trên G. Giả sử rằng với mọi hàm f ∈ L^1(G, β), dãy (μ_n \* f) hội tụ về 0 trong $\mathscr{P}_I$. Hãy chứng minh rằng dãy các chuẩn (||μ_n||) bị chặn (sử dụng định lý Banach–Steinhaus cho họ các ánh xạ f ↦ μ_n \* f từ L^1(G, β) vào chính nó, cũng như Bài tập 15). Suy ra từ đó rằng dãy (μ_n) tiến tới 0 trong $\mathscr{P}_I$ (sử dụng Bài tập 20).

b) Cho (μ_n) là một dãy các độ đo bị chặn trên G sao cho dãy (μ_n \* f) hội tụ mơ hồ về 0 với mọi hàm f ∈ L^1(G, β); hãy chứng minh rằng dãy (μ_n) hội tụ mơ hồ về 0 (đối với mọi tập con compact K của G, hãy chứng minh, lập luận như trong a), rằng dãy (|μ_n|(K)) bị chặn). Hãy cho một ví dụ (với G = $\mathbf{Z}$) trong đó dãy (||μ_n||) không bị chặn.

c) Cho (μ_n) là một dãy các độ đo bị chặn trên G sao cho với mọi hàm f ∈ L^1(G, β), dãy (μ_n \* f) hội tụ về 0 trong $\mathscr{P}_{II}$; hãy chứng minh rằng dãy (μ_n) hội tụ về 0 trong $\mathscr{P}_{II}$ (sử dụng a)).