Exercice 25, § 4

Soient G un groupe localement compact, $\beta$ une mesure de Haar à gauche sur G, $\mu$ une mesure positive sur G. Si A est un ensemble $\mu$-intégrable et B un ensemble borélien dans G, la fonction

est $\beta$-mesurable dans G ; si en outre B est $\beta$-intégrable, il en est de même de $u$, et l’on a $\int \mu(A \cap sB) d\beta(s) = \mu(A)\beta(B^{-1})$. Donner un exemple de mesure $\mu$ telle que $s \to \mu(A \cap sB)$ ne soit pas continue ; si $\mu$ est une mesure de base $\beta$ et si $A$ est $\mu$-intégrable et $B$ borélien, la fonction $s \to \mu(A \cap sB)$ est continue dans $G$.