Exercice 27, § 4

Soient $G$ un groupe localement compact, $\beta$ une mesure de Haar à gauche sur $G$. Si $G$ n'est pas réduit à $e$, $L^1(G, \beta)$ est une algèbre (pour la convolution) admettant des diviseurs de zéro autres que $0$. On pourra procéder comme suit pour former deux éléments $f, g$ non nuls de $L^1(G, \beta)$ tels que $f * g = 0$ :

1° Cas où $G$ contient un sous-groupe compact $H$ non réduit à $e$. Prendre alors pour $f$ une fonction caractéristique d'un ensemble $A$, pour $g$ une différence $\varphi_{sB} - \varphi_B$ de deux fonctions caractéristiques d'ensemble, $A$ et $B$ étant convenablement choisis.

2° Cas où $G = \mathbf{Z}$. Montrer alors que l'on peut prendre

pour tout $n \in \mathbf{Z}$ et $g(n) = f(-n)$.

3° Cas général. Prouver d'abord qu'il existe $a \neq e$ dans $G$ tel que $\Delta(a) = 1$. L'adhérence $H$ dans $G$ du sous-groupe engendré par $a$ est alors un sous-groupe compact ou un sous-groupe isomorphe à $\mathbf{Z}$ (Top. gén., chap. V, § 1, exerc. 2). Dans le premier cas, utiliser le résultat du

1° ; dans le second, prendre $f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \alpha_n \varphi_{Ua^{-n}}(t), g(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \beta_n \varphi_{a^n U}(t)$, en choisissant convenablement $U$ et les suites $(\alpha_n), (\beta_n)$ à l'aide du 2°.