Bài tập 27, § 4

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $\beta$ là một độ đo Haar trái trên $G$. Nếu $G$ không thu gọn thành $e$, thì $L^1(G, \beta)$ là một đại số (đối với phép chập) có các ước của không khác 0. Ta có thể tiến hành như sau để tạo thành hai phần tử khác không $f, g$ của $L^1(G, \beta)$ sao cho $f * g = 0$: $1^\circ$ Trường hợp $G$ chứa một nhóm con compact $H$, không thu gọn thành $e$, trong đó $\Delta(x) = 1$. Lấy $f$ là hàm đặc trưng của một tập hợp $A$, và $g$ là một hiệu $\varphi_{sB} - \varphi_B$ của hai hàm đặc trưng, với $A$ và $B$ được chọn thích hợp. $2^\circ$ Trường hợp $G = \mathbf{Z}$. Chứng minh rằng khi đó có thể lấy

với mọi $n \in \mathbf{Z}$, và $g(n) = f(-n)$. $3^\circ$ Trường hợp tổng quát. Trước hết chứng minh rằng tồn tại một $a \neq e$ trong $G$ sao cho $\Delta(a) = 1$. Bao đóng $H$ trong $G$ của nhóm con sinh bởi $a$ khi đó hoặc là một nhóm con compact hoặc là một nhóm con đẳng cấu với $\mathbf{Z}$ (GT, V, §1, Exer. 2). Trong trường hợp thứ nhất, dùng kết quả của $1^\circ$; trong trường hợp thứ hai, lấy chọn thích hợp $U$ và các dãy $(\alpha_n), (\beta_n)$ với sự trợ giúp của $2^\circ$.