Exercice 28, § 4

Soient $G_1, G_2$ deux groupes localement compacts, $\beta_1, \beta_2$ des mesures de Haar à gauche sur $G_1, G_2$ et $A_1$ (resp. $A_2$) l'algèbre topologique (sur $\mathbf{R}$) $L^1(G_1, \beta_1)$ (resp. $L^1(G_2, \beta_2)$). Soit $T$ un isomorphisme d'algèbres de $A_1$ sur $A_2$, tel que la relation $f \geq 0$ presque partout soit équivalente à $T(f) \geq 0$ presque partout.

a) Montrer que $T$ est un isomorphisme d'algèbres topologiques. (Noter d'abord que si une suite décroissante $(f_n)$ d'éléments de $A_1$ tend vers $0$ presque partout, il en est de même de la suite des $T(f_n)$; en déduire que pour toute suite $(f_n)$ majorée dans $A_1$, $T(\sup(f_n)) = \sup(T(f_n))$ et conclure à l'aide du lemme de Fatou).

b) Montrer que $T$ se prolonge d'une seule manière en un isomorphisme de l'algèbre topologique $\mathscr{M}^1(G_1)$ sur l'algèbre topologique $\mathscr{M}^1(G_2)$, et qu'il existe un isomorphisme topologique $u$ de $G_1$ sur $G_2$ et un homomorphisme continu $\chi$ de $G_1$ dans $\mathbf{R}_+^*$ tel que $T(\varepsilon_s) = \chi(s)\varepsilon_{u(s)}$ (utiliser l’exerc. 15 a) et l’exerc. 19 b); pour prouver que u et χ sont continus, remarquer que T définit un isomorphisme de l’algèbre $\mathscr{L}(A_1)$ des endomorphismes continus de l’espace vectoriel topologique $A_1$ sur l’algèbre analogue $\mathscr{L}(A_2)$ et que cet isomorphisme est bicontinu pour la topologie de la convergence simple; d’autre part, observer que $s \to \delta(s^{-1})$ est un isomorphisme de G sur un sous-groupe multiplicatif de $\mathscr{L}(A_1)$.

c) Déduire de b) que l’on a, pour toute $f \in A_1$,

pour tout $t \in G_2$.

On rappelle (Alg., chap. III, 3e éd., § 1) qu’il y a des groupes finis $G_1, G_2$ tels que les algèbres $L^1(G_1, \beta_1)$ et $L^1(G_2, \beta_2)$ soient isomorphes sans que $G_1$ et $G_2$ le soient.