Bài tập 28, § 4

Cho $G_1, G_2$ là hai nhóm compact địa phương, $\beta_1, \beta_2$ là các độ đo Haar trái trên $G_1, G_2$, và $A_1$ (tương ứng $A_2$) là đại số tôpô (trên $\mathbf{R}$) $L^1(G_1, \beta_1)$ (tương ứng $L^1(G_2, \beta_2)$). Cho $T$ là một đẳng cấu đại số từ $A_1$ lên $A_2$, sao cho quan hệ $f \geq 0$ hầu khắp nơi tương đương với $T(f) \geq 0$ hầu khắp nơi. a) Chứng minh rằng $T$ là một đẳng cấu của các đại số tôpô. (Trước hết chú ý rằng nếu một dãy giảm $(f_n)$ các phần tử của $A_1$ hội tụ về 0 hầu khắp nơi, thì điều tương tự cũng đúng đối với dãy các $T(f_n)$; suy ra từ đó rằng đối với mọi dãy $(f_n)$ bị chặn trên trong $A_1$, $T(\sup(f_n)) = \sup(T(f_n))$, và kết luận nhờ Bổ đề Fatou.) b) Chứng minh rằng $T$ có thể được mở rộng, theo duy nhất một cách, thành một đẳng cấu của đại số tôpô $\mathscr{M}^1(G_1)$ lên đại số tôpô $\mathscr{M}^1(G_2)$, và tồn tại một đẳng cấu tôpô $u$ của $G_1$ lên $G_2$ và một đồng cấu liên tục $\chi$ của $G_1$ vào $\mathbf{R}_+^*$ sao cho $T(\varepsilon_s) = \chi(s)\varepsilon_{u(s)}$ (sử dụng Exer. 15 $a$) và Exer. 19 b); để chứng minh rằng $u$ và $\chi$ liên tục, chú ý rằng $T$ xác định một đẳng cấu của đại số $\mathscr{L}(A_1)$ các tự đồng cấu liên tục của không gian vectơ tôpô $A_1$ lên đại số tương tự $\mathscr{L}(A_2)$, và rằng đẳng cấu này là song liên tục đối với tôpô hội tụ điểm; mặt khác, chú ý rằng $s \mapsto \delta(s^{-1})$ là một đẳng cấu của $G_1$ lên một nhóm con nhân của $\mathscr{L}(A_1)$.

c) Suy ra từ b) rằng, đối với mọi $f \in A_1$,

với mọi $t \in G_2$.

Nhắc lại (A, III, §2, Exer. 9) rằng tồn tại các nhóm hữu hạn $G_1, G_2$ sao cho các đại số $L^1(G_1, \beta_1)$ và $L^1(G_2, \beta_2)$ đẳng cấu với nhau mà $G_1$ và $G_2$ không đẳng cấu với nhau.