Exercice 3, § 4

Soit $G$ un groupe localement compact.

a) Soit $\mu$ une mesure positive bornée non nulle sur $G$ telle que $\mu * \mu = \mu$. Montrer que le support $S$ de $\mu$ est compact. (Soit $f \in \mathscr{K}_+(G)$ avec $f \neq 0$; on choisit une mesure de Haar à gauche sur $G$ par rapport à laquelle on prendra les produits de convolution ; on a $\mu * f \in \mathscr{K}(G)$; soit $x \in S$ tel que $(\mu * f)(x) = \sup_{y \in S} (\mu * f)(y)$; montrer que $(\mu * f)(y) = (\mu * f)(x)$ pour tout $y \in S$).

b) Montrer que $S$ est un sous-groupe compact de $G$ et que $\mu$ est la mesure de Haar normalisée de $S$. (Utiliser $a$), l’exerc. 21 de Top. gén., chap. III, 3e éd., § 5, et l’exerc. 5 du § 3).