Bài tập 3, § 4

Cho G là một nhóm compact địa phương. a) Cho $\mu$ là một độ đo dương bị chặn khác không trên G sao cho $\mu * \mu = \mu$. Chứng minh rằng giá S của $\mu$ là compact. (Cho $f \in \mathscr{K}_+(G)$ với $f \neq 0$; chọn một độ đo Haar trái trên G, đối với nó các tích chập sẽ được lấy; ta có $\mu * f \in \mathscr{K}(G)$; cho $x \in S$ sao cho $(\mu * f)(x) = \sup_{y \in S} (\mu * f)(y)$; chứng minh rằng $(\mu * f)(y) = (\mu * f)(x)$ với mọi $y \in S$.) b) Chứng minh rằng S là một nhóm con compact của G và rằng $\mu$ là độ đo Haar chuẩn hóa của S. (Sử dụng a), Bài tập 21 của GT, III, §4, và Bài tập 5 của §3.)