Exercice 7, § 4

Soient $G$ un groupe localement compact et $\beta$ une mesure de Haar à gauche sur $G$. Montrer que l’algèbre $L^1(G, \beta)$ admet un élément unité si et seulement si $G$ est discret. (Supposons $G$ non discret, et soit $f_0 \in L^1(G, \beta)$. Il existe un voisinage compact $V$ de $e$ tel que

Soit $U$ un voisinage compact symétrique de $e$ tel que $U^2 \subset V$. On a, pour presque tout $x \in U$,

donc $f_0$ n’est pas élément unité de $L^1(G, \beta)$).