Exercice 6, § 5

Soit G un groupe localement compact ne vérifiant pas la condition (L) du n° 4.

a) Montrer (avec les notations du n° 4) que la bijection canonique de N sur D n’est pas un homéomorphisme. (Pour tout voisinage W de e dans G, soit A(W) l’ensemble des sous-groupes finis $\neq \{e\}$ contenus dans W ; montrer que les A(W) forment la base d’un filtre convergeant dans D vers le sous-groupe $\{e\}$, mais que si $\alpha_H$ désigne la mesure de Haar normalisée de H, les mesures $\alpha_H$ ne convergent pas vers $\epsilon_e$).

b) Si de plus G est métrisable, montrer qu’il existe une partie compacte B de l’espace D des sous-groupes discrets de G, qui n’est contenue dans aucun des ensembles $D_U$ définis dans le th. 1 du n° 3.