Bài tập 6, § 5

Cho G là một nhóm compact địa phương không thỏa mãn điều kiện (L) của No. 4. a) Chứng minh (với các ký hiệu của No. 4) rằng song ánh chính tắc của N lên D không phải là một phép đồng phôi. (Đối với mọi lân cận W của e trong G, gọi A(W) là tập hợp các nhóm con hữu hạn $\neq \{e\}$ được chứa trong W; chứng minh rằng các A(W) tạo thành cơ sở của một lọc hội tụ trong D đến nhóm con $\{e\}$, nhưng nếu $\alpha_H$ ký hiệu độ đo Haar chuẩn hóa của H, thì các độ đo $\alpha_H$ không hội tụ đến $\varepsilon_e$.) b) Nếu thêm vào đó G là mêtric hóa được, chứng minh rằng tồn tại một tập con compact B của không gian D của các nhóm con rời rạc của G, không được chứa trong bất kỳ tập hợp nào trong các tập $D_U$ được định nghĩa trong Định lý 1 của No. 3.