Exercice 17, § 1

On suppose que $K$ est un corps. Soient $T$ une indéterminée, et $L = K((T))$; $L$ est muni canoniquement d’une valuation (ordre des séries formelles) qui en fait un corps valué complet.

a) Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie sur $K$. Alors, $V_{(L)}$ est muni canoniquement d’une structure d’espace vectoriel topologique métrisable et complet (Esp. vect. top., chap. I, § 2, no 3, th. 2). Soit $(x_p)_{p \in \mathbf{Z}}$ une famille d’éléments de $V$ tels que $x_p = 0$ pour $p$ inférieur à un certain entier rationnel. Alors la série $\sum_{-\infty}^{+\infty} x_p T^p$ converge dans $V_{(L)}$, et tout élément de $V_{(L)}$ se met sous cette forme de manière unique. (Prendre une base dans $V$.)

b) L’espace vectoriel $\mathscr{L}_L(V_{(L)}) = (\mathscr{L}_K(V))_{(L)}$ est muni canoniquement d’une structure d’espace vectoriel topologique métrisable et complet. Tout endomorphisme de $V_{(L)}$ se met d’une manière unique sous la forme $\sum_{-\infty}^{+\infty} u_p T^p$, où $u_p \in \mathscr{L}_K(V)$, et où les $u_p$ sont nuls pour $p$ inférieur à un certain entier rationnel.

c) Si $K$ est de caractéristique 0, et si $u \in \mathscr{L}_K(V)$, on pose

Si $x \in V$ est tel que $u x = 0$, on a $e^{T u} . x = x$.

d) Si $W$ est un autre espace vectoriel de dimension finie sur $K$, et si $v \in \mathscr{L}_K(W)$, on a $e^{T(u \otimes 1 + 1 \otimes v)} = e^{T u} \otimes e^{T v}$.

e) Déduire de c) et d) que, si $V$ est muni d’une structure d’algèbre (non nécessairement associative) et si $u$ est une dérivation de $V$, alors $e^{T u}$ est un automorphisme de l’algèbre $V_{(L)}$.