Exercice 19, § 1

Groupes et algèbres de Lie, I

a) Soit $L$ une algèbre associative sur $K$ . Etant donnés $k$ éléments $x_1, \ldots, x_k$ de $L$ , on pose :

f_k(x_1, \ldots, x_k) = \sum_{\sigma \in S_k} x_{\sigma(1)} \cdots x_{\sigma(k)}.

Dans l’algèbre $L \otimes_K K[T_1, \ldots, T_k]$ , où les $T_i$ sont des indéterminées, $f_k(x_1, \ldots, x_k)$ est le coefficient de $T_1 \ldots T_k$ dans $(x_1 T_1 + \cdots + x_k T_k)^k$ ; c’est aussi le coefficient de $T_1 \ldots T_k$ dans :

\sum_{j=0}^{k-1} (x_1 T_1 + \cdots + x_{k-1} T_{k-1})^j x_k T_k (x_1 T_1 + \cdots + x_{k-1} T_{k-1})^{k-j-1}.

Etant donnés deux éléments $x, y$ de $L$ , on définit $g_{i, k-i}(x, y)$ comme le coefficient de $T_1^i T_2^{k-i}$ dans $(x T_1 + y T_2)^k$ . Montrer que l’on a

i! (k-i)! \; g_{i, k-i}(x, y) = f_k(t_1, \ldots, t_k)

avec $t_h = x$ pour $h \leq i$ et $t_h = y$ pour $h \geq i+1$ .

b) Lorsque $L$ est considérée comme algèbre de Lie sur $K$ , on a, dans $\mathfrak{L}_K(L)$ :

(\mathrm{ad}\; x)^n = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \binom{n}{i} L_x^i R_x^{n-i},

où $L_x$ (resp. $R_x$ ) est la multiplication $y \mapsto xy$ (resp $y \mapsto yx$ ).

En déduire que, si $K$ est de caractéristique $p$ ( $p$ premier), on a :

(1)

(\mathrm{ad}\; x)^p.y = (\mathrm{ad}\; x^p).y

(2)

(\mathrm{ad}\; x)^{p-1}.y = \sum_{i=0}^{p-1} x^i y x^{p-1-i}.

Déduire de (2) que :

f_{p-1}(\mathrm{ad}\; x_1, \ldots, \mathrm{ad}\; x_{p-1}).y = f_p(x_1, \ldots, x_{p-1}, y)

et :

g_{i, p-1-i}(\mathrm{ad}\; x, \mathrm{ad}\; y).y = (p-i)g_{i, p-i}(x, y).

Conclure que, pour deux éléments quelconques $x, y$ de $L$ , on a :

(3)

(x+y)^p = x^p + y^p + \Lambda_p(x, y)

où :

\Lambda_p(x, y) = \sum_{i=1}^{p-1} (p-i)^{-1} g_{i, p-1-i}(\mathrm{ad}\; x, \mathrm{ad}\; y).y

appartient à la sous-algèbre de Lie de L engendrée par x et y ("formules de Jacobson").

Solution

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