Bài tập 19, § 1

Nhóm Lie và đại số Lie, I, 77

(a) Cho $L$ là một đại số kết hợp trên $K$ . Cho $k$ phần tử $x_1, \ldots, x_k$ của $L$ , ta viết:

f_k(x_1, \ldots, x_k) = \sum_{\sigma \in S_k} x_{\sigma(1)} \cdots x_{\sigma(k)}.

Trong đại số $L \otimes_K K[T_1, \ldots, T_k]$ , trong đó các $T_i$ là các bất định, $f_k(x_1, \ldots, x_k)$ là hệ số của $T_1 \ldots T_k$ trong $(x_1 T_1 + \cdots + x_k T_k)^k$ ; nó cũng là hệ số của $T_1 \ldots T_k$ trong:

\sum_{j=0}^{k-1} (x_1 T_1 + \cdots + x_{k-1} T_{k-1})^j x_k T_k (x_1 T_1 + \cdots + x_{k-1} T_{k-1})^{k-j-1}.

Cho hai phần tử $x, y$ trong $L$ , ta định nghĩa $g_{i, k-i}(x, y)$ là hệ số của $T_1^i T_2^{k-i}$ trong $(x T_1 + y T_2)^k$ . Chứng minh rằng

i! (k-i)! g_{i, k-i}(x, y) = f_k(t_1, \ldots, t_k)

trong đó $t_h = x$ với $h \leq i$ và $t_h = y$ với $h \geq i+1$ .

(b) Nếu $L$ được xem như một đại số Lie trên $K$ , thì trong $\mathscr{L}_K(L)$ :

(\mathrm{ad}\ x)^n = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \binom{n}{i} L_x^i R_x^{n-i},

trong đó $L_x$ (tương ứng $R_x$ ) là phép nhân $y \mapsto xy$ (tương ứng $y \mapsto yx$ ).

Suy ra rằng, nếu $K$ có đặc số $p$ ( $p$ nguyên tố), thì:

(1)

(\mathrm{ad}\ x)^p . y = (\mathrm{ad}\ x^p) . y

(2)

(\mathrm{ad}\ x)^{p-1} . y = \sum_{i=0}^{p-1} x^i y x^{p-1-i}.

Suy ra từ (2) rằng:

f_{p-1}(\operatorname{ad} x_1, \ldots, \operatorname{ad} x_{p-1}) \cdot y = f_p(x_1, \ldots, x_{p-1}, y)

và:

g_{i, p-1-i}(\operatorname{ad} x, \operatorname{ad} y) \cdot y = (p - i) g_{i, p-i}(x, y).

Kết luận rằng đối với hai phần tử bất kỳ $x, y$ của $L$ :

(3)

(x + y)^p = x^p + y^p + \Lambda_p(x, y)

trong đó:

\Lambda_p(x, y) = \sum_{i=1}^{p-1} (p - i)^{-1} g_{i, p-1-i}(\operatorname{ad} x, \operatorname{ad} y) \cdot y

thuộc đại số Lie con của $L$ sinh bởi $x$ và $y$ ("các công thức Jacobson").

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.