Exercice 20, § 1

Soit g une algèbre de Lie sur un anneau K tel que pK = {0} (p premier). On dit qu’une application $x \mapsto x^{[p]}$ de g dans lui-même est une p-application si elle vérifie les relations :

pour $x, y$ dans g et $\lambda \in K$. On appelle p-algèbre de Lie sur K un ensemble muni de la structure définie par la donnée d’une structure d’algèbre de Lie sur K et d’une p-application. Toute algèbre associative sur K est une p-algèbre de Lie pour $[x, y] = xy - yx$ et $x^{[p]} = x^p$ (exerc. 19). On dit qu’une application u d’une p-algèbre de Lie g dans une p-algèbre de Lie g' est un p-homomorphisme si u est un homomorphisme d’algèbre de Lie et si $u(x^{[p]}) = (u(x))^{[p]}$. Montrer que, dans une p-algèbre de Lie g, toute p-application est de la forme $x \mapsto x^{[p]} + f(x)$, où f est une application de g dans son centre, semi-linéaire pour l’endomorphisme $\lambda \mapsto \lambda^p$ de K. Plus généralement, si u est un homomorphisme de g sur une p-algèbre de Lie g', $u(x^{[p]}) - (u(x))^{[p]}$ appartient au centre de g'.