Bài tập 20, § 1

Cho $g$ là một đại số Lie trên một vành $K$ sao cho $pK = \{0\}$ ($p$ nguyên tố). Một ánh xạ $x \mapsto x^{[p]}$ từ $g$ vào chính nó được gọi là một ánh xạ $p$-nếu nó thỏa mãn các hệ thức

với $x, y$ thuộc $g$ và $\lambda \in K$. Một đại số Lie $p$ trên $K$ là một tập hợp được trang bị cấu trúc xác định bằng cách cho nó một cấu trúc đại số Lie trên $K$ và một ánh xạ $p$. Mọi đại số kết hợp trên $K$ đều là một đại số Lie $p$ với $[x, y] = xy - yx$ và $x^{[p]} = x^p$ (Bài tập 19). Một ánh xạ $u$ của một đại số Lie $p$ $g$ vào một đại số Lie $p$ $g'$ được gọi là một đồng cấu $p$ nếu $u$ là một đồng cấu đại số Lie và $u(x^{[p]}) = (u(x))^{[p]}$. Chứng minh rằng trong một đại số Lie $p$ $g$ mọi ánh xạ $p$ đều có dạng $x \mapsto x^{[p]} + f(x)$, trong đó $f$ là một ánh xạ từ $g$ vào tâm của nó, là nửa tuyến tính đối với tự đồng cấu $\lambda \mapsto \lambda^p$ của $K$. Tổng quát hơn, nếu $u$ là một đồng cấu của $g$ lên một đại số Lie $p$ $g'$, thì $u(x^{[p]}) - (u(x))^{[p]}$ thuộc tâm của $g'$.