Exercice 24, § 1

Soient $K$ un corps (commutatif) de caractéristique $p$ (quelconque), $X_i, Y_i, Z_i$ $3n$ indéterminées distinctes ; on désigne pour abréger par $x, y, z$ les systèmes $(X_i)_{1 \leq i \leq n}, (Y_i)_{1 \leq i \leq n}, (Z_i)_{1 \leq i \leq n}$ respectivement. Soit $A_{x,y,z}$ l’algèbre des séries formelles par rapport aux $3n$ indéterminées $X_i, Y_i, Z_i$, à coefficients dans $K$ ; on désignera par $A_{x,y}$ (resp. $A_x$) la sous-algèbre de $A_{x,y,z}$ formée des séries formelles ne contenant pas $z$ (resp. $y, z$). Un élément de $A_{x,y,z}$ (resp. $A_{x,y}, A_x$) se notera $u(x, y, z)$ (resp. $u(x, y), u(x)$) ; un système $(u_i(x, y, z))_{1 \leq i \leq n}$ de $n$ éléments de $A_{x,y,z}$ se notera $u(x, y, z)$ ; notations analogues pour les séries formelles ne contenant qu’un ou deux des trois systèmes $x, y, z$. Si $u(x, y, z) \in A_{x,y,z}$ et si $f = (f_i), g = (g_i), h = (h_i)$ sont trois systèmes de $n$ éléments de $A_{x,y,z}$ qui sont des séries sans terme constant, on note $u((f(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z))$ la série formelle obtenue en substituant $f_i$ à $X_i, g_i$ à $Y_i, h_i$ à $Z_i$ ($1 \leq i \leq n$) dans $u$. Pour tout système $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ de $n$ entiers $\geq 0$, on désigne par $x^\alpha$ le monôme $X_1^{\alpha_1} \ldots X_n^{\alpha_n}$; on définit de même $y^\alpha$ et $z^\alpha$. On désigne par $\varepsilon_i$ le système $\alpha$ pour lequel $\alpha_j = 0$ si $j \neq i, \alpha_i = 1$. On désigne par $e$ le système $(0, \ldots, 0)$ de $n$ éléments de $A_{x,y,z}$.

a) On appelle loi de groupe formel sur $K$ (ou, par abus de langage, groupe formel sur $K$) de dimension $n$, un système $G = f(x, y)$ de $n$ éléments de $A_{x,y}$ ayant les propriétés suivantes : $1^o$ $f(x, f(y, z)) = f(f(x, y), z)$; $2^o$ $f(e, y) = y, f(x, e) = x$. Montrer que l’on a nécessairement $f_i(x, y) = X_i + Y_i + g_i(x, y)$, où $g_i$ ne contient que des monômes de degré total $\geq 2$, et dont chacun contient au moins un $X_j$ et au moins un $Y_j$. Montrer qu’il existe un système et un seul $h(x)$ de $n$ éléments de $A_x$ tel que $f(x, h(x)) = f(h(x), x) = e$ (Alg. chap. IV, , no 9, prop. 10). On dit que G est commutatif si $f(y, x) = f(x, y)$

b) Pour tout $u \in A_x$, on désigne par $L_y u$ l’élément $u(f(y, z))$ de $A_{x,y}$. Une dérivation D de $A_x$ se prolonge canoniquement en une dérivation de $A_{x,y}$ (notée encore D par abus de notation) par la condition que $D(Y_i) = 0$ pour tout $i$ (Alg., chap. IV, § 5, no 8, prop. 6). On dit que D est invariante à gauche pour le groupe formel considéré G si on a $L_y D = D L_y$. On désigne par $D^{(e)}$ l’application linéaire de $A_{x,y}$ dans $A_y$ définie par $D^{(e)}(u) = (Du)(e, y)$; elle applique $A_x$ dans K et est déterminée par sa restriction à $A_x$. Montrer que, pour que D soit invariante à gauche, il faut et il suffit que pour tout $\varphi \in A_x$, on ait $D^{(e)}(L_y \varphi) = (D \varphi)(y)$.

Soit $D_i$ la dérivation $\partial / \partial X_i$ de $A_x$ ($1 \leq i \leq n$); il existe une dérivation invariante à gauche $T_i$ et une seule telle que $T_i^{(e)} = D_i^{(e)}$. Montrer que les $T_i$ sont linéairement indépendantes sur K et que toute dérivation invariante à gauche est combinaison linéaire des $T_i$ à coefficients dans K. En déduire que, pour le crochet $[D, D']$ et la $p$-application $D \mapsto D^p$ (lorsque $p > 0$), l’ensemble g des dérivations invariantes à gauche est une algèbre de Lie (une p-algèbre de Lie si $p > 0$) dite algèbre de Lie du groupe formel G.

c) Montrer que, pour toute série formelle $u \in A_x$, on a :

où, dans la série $o_2$, tous les monômes sont de degré $\geq 2$ par rapport aux $Y_j$. En déduire que l’on a :

où, dans la série $o_3$, tous les monômes sont de degré $\geq 3$, par rapport à l’ensemble des $Y_i$ et des $Z_i$. En déduire que :

où tous les termes de $o'_3$ sont de degré total $\geq 3$. Montrer que, si G est commutatif, g est commutative.

d) Soit $G'$ un second groupe formel, de dimension m, dont la loi de groupe est $f'$. On appelle homomorphisme formel de G dans $G'$ un système $F = (F_j(x))_{1 \leq j \leq m}$ d’éléments de $A_x$ tel que l’on ait $f'(F(x), F(y)) = F(f(x, y))$. Pour toute dérivation invariante à gauche $D \in g$, montrer que $\varphi \to D(\varphi \circ F)$ est une dérivation invariante à gauche appartenant à l’algèbre de Lie $g'$ de $G'$. Si on la désigne par $F^*(D)$, $F^*$ est un homomorphisme (un $p$-homomorphisme pour $p > 0$) de g dans $g'$. Si $(T_i)_{1 \leq i \leq n}$, $(T'_j)_{1 \leq j \leq m}$ sont les bases de g et $g'$ telles que $T_i^{(e)} = D_i^{(e)}$ et $T_{j'}^{(e)} = D_j^{(e)}$, montrer que la matrice de $F^*$, rapportée à ces bases, est la matrice

(∂F_j/∂X_i)_0 (terme constant de ∂F_j/∂X_i, où i est l’indice des lignes, j celui des colonnes).