Bài tập 24, § 1

Cho $K$ là một trường (giao hoán) có đặc số (tùy ý) $p$ và $X_i, Y_i, Z_i$ là $3n$ phần tử bất định phân biệt; để viết gọn, ta sẽ ký hiệu các hệ $(X_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}, (Y_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}, (Z_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ lần lượt bởi $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$. Cho $A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}}$ là đại số các chuỗi lũy thừa hình thức theo $3n$ phần tử bất định $X_i, Y_i, Z_i$ với các hệ số trong $K$; ta sẽ ký hiệu bởi $A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}$ (resp. $A_{\mathbf{x}}$) đại số con của $A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}}$ gồm các chuỗi lũy thừa không chứa $\mathbf{z}$ (resp. $\mathbf{y}, \mathbf{z}$). Một phần tử của $A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}}$ (resp. $A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}, A_{\mathbf{x}}$) sẽ được ký hiệu bởi $u(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$ (resp. $u(\mathbf{x}, \mathbf{y}), u(\mathbf{x})$);

một hệ $(u_i(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}))_{1 \leq i \leq n}$ gồm $n$ phần tử của $A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}}$ sẽ được ký hiệu bởi $u(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$; ký hiệu tương tự sẽ được dùng cho các chuỗi lũy thừa hình thức chỉ chứa một hoặc hai trong ba hệ $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$. Nếu $u(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}}$ và $\mathbf{f} = (f_i), \mathbf{g} = (g_i), \mathbf{h} = (h_i)$ là ba hệ gồm $n$ phần tử của $A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}}$ là các chuỗi lũy thừa hình thức không có số hạng hằng, ta ký hiệu bởi $u(\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}), \mathbf{g}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}), \mathbf{h}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}))$ chuỗi lũy thừa hình thức thu được bằng cách thay $f_i$ vào $X_i$, $g_i$ vào $Y_i$, $h_i$ vào $Z_i$ ($1 \leq i \leq n$) trong $u$. Với mọi hệ $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ gồm $n$ số nguyên $\geq 0$, đặt $\mathbf{x}^\alpha$ là đơn thức $X_1^{\alpha_1} \ldots X_n^{\alpha_n}$; $\mathbf{y}^\alpha$ và $\mathbf{z}^\alpha$ được định nghĩa tương tự. Gọi $\varepsilon_i$ là hệ $\alpha$ sao cho $\alpha_j = 0$ nếu $j \neq i$, $\alpha_i = 1$. Ta ký hiệu bởi $\mathbf{e}$ hệ $(0, \ldots, 0)$ gồm $n$ phần tử của $A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}}$.

(a) Luật nhóm hình thức trên $K$ (hoặc, bằng một sự lạm dụng ngôn ngữ, một nhóm hình thức trên $K$) có chiều $n$ là một hệ $G = \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ gồm $n$ phần tử của $A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}$ có các tính chất sau: (1) $\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{f}(\mathbf{y}, \mathbf{z})) = \mathbf{f}(\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{y}), \mathbf{z})$; (2) $\mathbf{f}(\mathbf{e}, \mathbf{y}) = \mathbf{y}$, $\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{e}) = \mathbf{x}$. Chứng minh rằng tất yếu $f_i(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = X_i + Y_i + g_i(\mathbf{x}, \mathbf{y})$, trong đó $g_i$ chỉ chứa các đơn thức có bậc $\geq 2$, mỗi đơn thức trong số đó chứa ít nhất một $X_j$ và ít nhất một $Y_j$. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một hệ $\mathbf{h}(\mathbf{x})$ gồm $n$ phần tử của $A_{\mathbf{x}}$ sao cho $\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{h}(\mathbf{x})) = \mathbf{f}(\mathbf{h}(\mathbf{x}), \mathbf{x}) = \mathbf{e}$ (Algebra, chương IV, § 5, no. 9, Mệnh đề 10). $G$ được gọi là giao hoán nếu $\mathbf{f}(\mathbf{y}, \mathbf{x}) = \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{y})$.

(b) Với mọi $u \in A_{\mathbf{x}}$, ký hiệu $L_y u$ là phần tử $u(\mathbf{f}(\mathbf{y}, \mathbf{x}))$ của $A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}$. Một đạo hàm $D$ của $A_{\mathbf{x}}$ có thể được mở rộng một cách chính tắc thành một đạo hàm của $A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}$ (cũng ký hiệu là $D$ bằng một sự lạm dụng ký hiệu) bởi điều kiện rằng $D(Y_i) = 0$ với mọi $i$ (Algebra, chương IV, § 5, no. 8, Mệnh đề 6). $D$ được gọi là bất biến trái đối với nhóm hình thức $G$ đang xét nếu $L_y D = D L_y$. Ta ký hiệu bởi $D^{(\mathbf{e})}$ ánh xạ tuyến tính từ $A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}$ vào $A_{\mathbf{y}}$ được xác định bởi $D^{(\mathbf{e})}(u) = (D u)(\mathbf{e}, \mathbf{y})$; nó ánh xạ $A_{\mathbf{x}}$ vào $K$ và được xác định bởi hạn chế của nó trên $A_{\mathbf{x}}$. Chứng minh rằng để $D$ là bất biến trái thì điều kiện cần và đủ là với mọi $v \in A_{\mathbf{x}}$, $D^{(\mathbf{e})}(L_y v) = (D v)(\mathbf{y})$.

Gọi $D_i$ là đạo hàm $\partial / \partial X_i$ của $A_{\mathbf{x}}$ ($1 \leq i \leq n$); tồn tại duy nhất một đạo hàm bất biến trái $T_i$ sao cho $T_i^{(\mathbf{e})} = D_i^{(\mathbf{e})}$. Chứng minh rằng các $T_i$ độc lập tuyến tính trên $K$ và rằng mọi đạo hàm bất biến trái là một tổ hợp tuyến tính của các $T_i$ với các hệ số trong $K$. Suy ra rằng, đối với móc $[D, D']$ và ánh xạ $p$ $D \mapsto D^p$ (khi $p > 0$), tập hợp $g$ các đạo hàm bất biến trái là một đại số Lie (một đại số p-Lie nếu $p > 0$) được gọi là đại số Lie của nhóm Lie hình thức $G$.

(c) Chứng minh rằng đối với mọi chuỗi lũy thừa hình thức $u \in A_{\mathbf{x}}$:

trong đó trong chuỗi $o_2$ mọi đơn thức đều có bậc $\geq 2$ theo các $Y_j$. Suy ra rằng

trong đó trong chuỗi $o_3$ mọi đơn thức đều có bậc $\geq 3$ trong tập hợp các $Y_i$ và $Z_i$. Suy ra rằng:

trong đó mọi số hạng của $o'_3$ đều có bậc toàn phần $\geq 3$. Chứng minh rằng, nếu G là giao hoán, thì g là giao hoán.

(d) Cho $G'$ là một nhóm hình thức khác có chiều m, với luật nhóm của nó là $f'$. Một đồng cấu hình thức của G vào $G'$ là một hệ $F = (F_j(x))_{1 \leq j \leq m}$ gồm các phần tử của $A_x$ sao cho $f'(F(x), F(y)) = F(f(x, y))$. Với mọi đạo hàm bất biến trái $D \in g$, chứng minh rằng $v \mapsto D(v \circ F)$ là một đạo hàm bất biến trái thuộc đại số Lie $g'$ của $G'$. Nếu nó được ký hiệu là $F^*(D)$, thì $F^*$ là một đồng cấu (một $p$-đồng cấu đối với $p > 0$) của $g$ vào $g'$. Nếu $(T_i)_{1 \leq i \leq n}$, $(T'_j)_{1 \leq j \leq m}$ là các cơ sở của $g$ và $g'$ sao cho $T_i^{(e)} = D_i^{(e)}$ và $T_{j'}^{(e)} = D_{j'}^{(e)}$, chứng minh rằng ma trận của $F^*$ đối với các cơ sở này là ma trận $(\partial F_j / \partial X_i)_0$ (số hạng hằng của $\partial F_j / \partial X_i$, trong đó i là chỉ số của các hàng và j là chỉ số của các cột).