Exercice 26, § 1

a) Soient K un corps de caractéristique ≠ 2, E un espace vectoriel de dimension n sur K, Φ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur E. On suppose E muni d’une base orthogonale pour Φ et on désigne par R la matrice (diagonale) de Φ par rapport à cette base. On sait (Alg., chap. IX, § 4, exerc. 11) que tout matrice (relative à la base considérée) U du groupe orthogonal G(Φ) telle que det(I + U) ≠ 0 s’écrit U = (I − R^{-1}S)^{-1}(I + R^{-1}S), où S = R(U − I)(U + I)^{-1} est une matrice alternée telle que det(I − R^{-1}S) ≠ 0 ; inversement pour toute matrice S satisfaisant à ces conditions, U = (I − R^{-1}S)^{-1}(I + R^{-1}S) est une matrice de G(Φ) telle que det(I + U) ≠ 0. Soient S_{ij}, S'_{ij}, S''_{ij} 3n(n − 1)/2 indéterminées (1 ≤ i < j ≤ n) et soit L un corps contenant l’anneau de séries formelles K[[S_{ij}, S'_{ij}, S''_{ij}}]. Si on désigne par S, S', S'' les matrices

Σ_{i < j} S_{ij}(E_{ij} − E_{ji}), Σ_{i < j} S'_{ij}(E_{ij} − E_{ji}), Σ_{i < j} S''_{ij}(E_{ij} − E_{ji}),

on a det(I − R^{-1}S) ≠ 0, et les analogues pour S' et S'' ; si on pose

U = (I − R^{-1}S)^{-1}(I + R^{-1}S), U' = (I − R^{-1}S')^{-1}(I + R^{-1}S'),

on a aussi det(I + UU') ≠ 0. Posons

F(S, S') = R(UU' − I)(UU' + I)^{-1} = (f_{ij}(S, S')) ;

les f_{ij}(S, S') appartiennent à l’anneau des séries formelles K[[S_{ij}, S'_{ij}]], et en considérant F(S, S') comme une série formelle à coefficients dans l’algèbre des matrices d’ordre n sur K, on peut écrire :

F(S, S') = S + S' + o_2(S, S') où, dans les éléments de la matrice $o_2(S, S')$, les termes sont tous de degré $\geq 1$ par rapport aux $S_{ij}$ et de degré $\geq 1$ par rapport aux $S'_{ij}$; on a de même :

les éléments de $o'_2(S)$ étant des séries formelles d’ordre $\geq 2$. Montrer que $F(S, S')$ est une loi de groupe formel sur $K$, de dimension $n(n-1)/2$; ce groupe formel est appelé groupe orthogonal formel (correspondant à $\Phi$) et noté $G(\Phi)$ par abus de notation.

b) Si on pose $M(S) = (m_{ij}(S)) = (I - R^{-1}S)^{-1}(I + R^{-1}S)$, $M$ est un homomorphisme formel de $G(\Phi)$ dans $GL(n, K)$. Soit $\mathfrak{o}(\Phi)$ l’algèbre de Lie de $G(\Phi)$, et désignons par $(T_{ij})_{i<j}$ la base de cette algèbre telle que $T^{(e)}_{ij} = D^{(e)}_{ij}$ (exerc. 24 d)); si on identifie un élément $D = \sum_{i<j} c_{ij} T_{ij}$ de $\mathfrak{o}(\Phi)$ à la matrice $D = \sum_{i<j} c_{ij}(E_{ij} - E_{ji})$, montrer que l’on a (avec les notations de l’exerc. 24 d) et l’identification faite dans l’exerc. 25 de l’algèbre de Lie de $GL(n, K)$ avec $gl(n, K)$):

En déduire que $M^*$ est un isomorphisme de $\mathfrak{o}(\Phi)$ sur la sous-algèbre de $gl(n, K)$ formée des matrices $X$ telles que $'XR + RX = 0$ (écrire que pour tout couple $(a, b)$ d’éléments de $E$, identifiés à des matrices à une colonne, $\Phi(a + M(S).a, b + M(S).b) = 'a.(I + 'M(S))R(I + M(S)).b$ est une série formelle réduite à son terme constant, et utiliser le fait que la sous-algèbre des $X \in gl(n, K)$ telles que $'XR + RX = 0$ est de dimension $n(n-1)/2$.

c) Définir de même le groupe symplectique formel à $2n$ variables sur un corps (commutatif) $K$ quelconque, et montrer que son algèbre de Lie s’identifie à la sous-algèbre de $gl(2n, K)$ formé des matrices $X$ telles que