Bài tập 26, § 1

(a) Cho K là một trường có đặc số $\neq 2$, E là một không gian vectơ n chiều trên K và $\Phi$ là một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến trên E. Giả sử E có một cơ sở trực giao đối với $\Phi$ và ký hiệu R là ma trận (đường chéo) của $\Phi$ đối với cơ sở này. Ta biết (Đại số, chương IX, § 4, Bài tập 11) rằng mọi ma trận (đối với cơ sở đã nói) $U$ của nhóm trực giao $\mathbf{G}(\Phi)$ sao cho $\det(I + U) \neq 0$ đều có thể viết được dưới dạng

trong đó $S = R(U - I)(U + I)^{-1}$ là một ma trận phản xứng sao cho $\det(I - R^{-1}S) \neq 0$; ngược lại, với mọi ma trận $S$ thỏa mãn các điều kiện này, $U = (I - R^{-1}S)^{-1}(I + R^{-1}S)$ là một ma trận của $\mathbf{G}(\Phi)$ sao cho $\det(I + U) \neq 0$. Gọi $S_{ij}, S'_{ij}, S''_{ij}$ là $3n(n-1)/2$ phần tử bất định $(1 \leq i < j \leq n)$ và gọi L là một trường chứa vành các chuỗi lũy thừa hình thức K[[S_{ij}, S'_{ij}, S''_{ij}]]. Nếu ký hiệu S, S', S'' là các ma trận

thì det(I - R^{-1}S) \neq 0 và các điều tương tự đối với S' và S'' cũng đúng; nếu ta viết

thì cũng có det(I + UU') \neq 0. Ta viết

các f_{ij}(S, S') thuộc vành các chuỗi lũy thừa hình thức K[[S_{ij}, S'_{ij}]] và, bằng cách xem F(S, S') như một chuỗi lũy thừa hình thức với các hệ số thuộc đại số các ma trận cấp n trên K, ta có thể viết:

trong đó, trong các phần tử của ma trận o_2(S, S'), các số hạng đều có bậc $\geq 1$ theo các S_{ij} và có bậc $\geq 1$ theo các S'_{ij}; tương tự, ta có:

các phần tử của o'_2(S) là những chuỗi lũy thừa hình thức có cấp $\geq 2$. Hãy chứng minh rằng F(S, S') là một luật nhóm hình thức trên K có chiều n(n - 1)/2; nhóm hình thức này được gọi là nhóm trực giao hình thức (tương ứng với $\Phi$) và được ký hiệu là G(\Phi), với một sự lạm dụng ký hiệu.

(b) Nếu ta viết M(S) = (m_{ij}(S)) = (I - R^{-1}S)^{-1}(I + R^{-1}S), thì M là một đồng cấu hình thức của G(\Phi) vào GL(n, K). Gọi $\mathfrak{o}(\Phi)$ là đại số Lie của G(\Phi) và gọi (T_{ij})_{i < j} là cơ sở của đại số này sao cho T^{(e)}_{ij} = D^{(e)}_{ij} (xem Bài tập 24 (d)); nếu một phần tử D = \sum_{i < j} c_{ij} T_{ij} của $\mathfrak{o}(\Phi)$ được đồng nhất với ma trận $D = \sum_{i < j} c_{ij}(E_{ij} - E_{ji})$, hãy chứng minh rằng (theo ký hiệu của Bài tập 24 (d), với sự đồng nhất được thực hiện trong Bài tập 25 của đại số Lie của GL(n, K) với gl(n, K)):

Suy ra rằng M* là một đẳng cấu của $\mathfrak{o}(\Phi)$ lên đại số con của gl(n, K) gồm các ma trận X sao cho ^tXR + RX = 0 (với mọi cặp có thứ tự (a, b) các phần tử của E, được đồng nhất với các ma trận có một cột, xét $\Phi(a + M(S).a, b + M(S).b) = ^ta.(I + ^tM(S))R(I + M(S)).b$ như một chuỗi lũy thừa hình thức được rút gọn về số hạng hằng và sử dụng sự kiện rằng đại số con của X \in gl(n, K) sao cho ^tXR + RX = 0 có chiều n(n - 1)/2).

(c) Định nghĩa tương tự nhóm symplectic hình thức trong 2n biến trên một trường (giao hoán) tùy ý và chứng minh rằng đại số Lie của nó được đồng nhất với đại số con của $\mathfrak{gl}(2n, \mathbf{K})$ gồm các ma trận $X$ sao cho