Exercice 4, § 1

a) On suppose que 2 est inversible dans K. Soit a une algèbre de Lie sur K. Sur le K-module a′ = a × a, on définit un crochet par la formule :

Alors a′ est une K-algèbre de Lie, et les applications $x \mapsto \frac{1}{2} (x, x)$, $x \mapsto \frac{1}{2} (x, - x)$ sont des isomorphismes de a sur des idéaux b, c de a′ dont a′ est somme directe. (Considérer l’extension quadratique K′ de K, de base 1 et k avec $k^2 = 1$. Former a_{(K_1)}, puis restreindre à K l’anneau des scalaires. Observer ensuite que $\frac{1}{2}(1 + k), \frac{1}{2}(1 - k)$ sont des idempotents de K′ et que $(1 + k)(1 - k) = 0$.

b) Soient a une algèbre de Lie réelle, g = a_{(\mathbf{C})}, b l’algèbre de Lie réelle déduite de g par restriction à $\mathbf{R}$ du corps des scalaires. Montrer que b_{(\mathbf{C})} est isomorphe à a′_{(\mathbf{C})}, a′ étant l’algèbre introduite en a). (Considérer V = $\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}$ comme espace vectoriel sur $\mathbf{C}$ par $(z \otimes z')z'' = z \otimes z'z''$.

Observer que V est la complexification du sous-espace vectoriel réel de V engendré par $1 \otimes 1$ et $i \otimes i$, et que ce sous-espace s’identifie à l’extension quadratique de $\mathbf{R}$ de base 1 et $k$ avec $k^2 = 1$.)