Exercice 7, § 1

Soit A un anneau (éventuellement sans élément unité) tel que la relation $2a = 0$ dans A entraîne $a = 0$. Soit U un sous-anneau de A, idéal de la $\mathbf{Z}$-algèbre de Lie associée à A.

a) Si $x, y$ appartiennent à U, on a $(xy - yx)A \subset U$ (écrire : $(xy - yx)s = x(ys) - (ys)x - y(xs - sx)$), et $A(xy - yx)A \subset U$ (écrire : $r(xy - yx)s = (xy - yx)sr + r[(xy - yx)s] - [(xy - yx)s]r$).

b) On suppose U commutatif. Soient $x \in U, s \in A$, et $y = xs - sx$. Montrer que $(yt)^3 = 0$ pour tout $t \in A$. (L’élément $x$ commute avec $xs - sx$ et $xs^2 - s^2x$; en déduire que $2(xs - sx)^2 = 0$, d’où $y^2 = 0$. De même, $(yt - ty)^2 = 0$ pour tout $t \in A$).

c) On suppose désormais que les seuls idéaux bilatères de A sont $\{0\}$ et A, et que, pour tout élément non nul $y$ de A, il existe un $t \in A$ tel que $yt$ soit non nilpotent. Montrer que, si $U \neq A$, U est contenu dans le centre de A. (Montrer, grâce à a), que U est commutatif, puis utiliser b).)

d) Soit V un idéal de la $\mathbf{Z}$-algèbre de Lie associée à A. Alors, ou bien V est contenu dans le centre de A, ou bien $V \supset [A, A]$. (Appliquer c) à l’ensemble U des $t \in A$ tels que $[t, A] \subset V$; utiliser l’identité $[xy, z] = [x, yz] + [y, zx]$).