Bài tập 7, § 1

Cho A là một vành (có thể không có phần tử đơn vị) sao cho quan hệ $2a = 0$ trong A kéo theo $a = 0$. Cho U là một vành con của A và là một iđêan của đại số Lie $\mathbf{Z}$ liên kết với A.

(a) Nếu $x, y$ thuộc U, thì $(xy - yx)A \subset U$ (viết:

và $A(xy - yx)A \subset U$ (viết:

(b) Giả sử rằng U là giao hoán. Cho $x \in U, s \in A$ và $y = xs - sx$. Chứng minh rằng $(yt)^3 = 0$ với mọi $t \in A$. (Phần tử x giao hoán với $xs - sx$ và $xs^2 - s^2x$; suy ra rằng $2(xs - sx)^2 = 0$, do đó $y^2 = 0$. Tương tự $(yt - ty)^2 = 0$ với mọi $t \in A$.)

(c) Từ đây về sau giả sử rằng các iđêan hai phía duy nhất của A là {0} và A, và rằng với mọi phần tử khác không $y$ của A tồn tại $t \in A$ sao cho $yt$ không lũy linh. Chứng minh rằng, nếu $U \neq A$, thì U được chứa trong tâm của A. (Dùng (a) để chứng minh rằng U là giao hoán rồi sử dụng (b).)

(d) Cho V là một iđêan của đại số Lie $\mathbf{Z}$ liên kết với A. Khi đó hoặc V được chứa trong tâm của A hoặc $V \supset [A, A]$. (Áp dụng (c) cho tập hợp U gồm các $t \in A$ sao cho $[t, A] \subset V$; sử dụng đẳng thức $[xy, z] = [x, yz] + [y, zx]$.)